В книге Aftermath Тед Динтерсмит выступает за то, чтобы школы уделяли больше внимания статистике и применению математики к повседневной жизни, а не математическому анализу. Он считает, что этот курс преподают в половине старших школ и что школы цепляются за устаревшие приоритеты.

Делать математику интересной действительно важно. Однако отказ от математического анализа не решит проблем школьного математического образования. Важно учитывать три обстоятельства: анализ по-прежнему имеет практическое значение, статистика не заменяет другие математические дисциплины, а ученикам нужен доступ к сложным предметам.

Математический анализ по-прежнему важен

История математического анализа — это история людей, которые годами и поколениями искали ответы на трудные вопросы, выполняли сложные вычисления и продвигались к решениям шаг за шагом. Такая работа требует настойчивости и любознательности, даже если результат не гарантирован.

Математический анализ лежит в основе лазеров, современных лекарственных препаратов, GPS, больших языковых моделей и прогнозирования погоды. Обычно его роль скрыта за компьютерными программами и не обсуждается в повседневных разговорах о технологиях. Но он остаётся частью их математической основы. Нельзя заранее знать, какие открытия ещё предстоят и кто их совершит. Математик Стивен Строгац отмечает, что поиски решений всё более сложных уравнений — одна из великих эпопей в истории человеческой мысли.

Динтерсмит справедливо связывает математику с гражданской жизнью, инновациями, образованием, Вселенной и будущим. Но исключение математического анализа из этого широкого контекста упускает из виду его вклад в развитие технологий и понимание мира. Говорить школьникам, что анализ неважен, значит ограничивать их знакомство с областью математики, которая помогла сформировать окружающие их технологии.

Не каждому школьнику предстоит изучать математический анализ, но это не делает его ненужным. Чтобы показать красоту и силу математики, не обязательно исключать из неё сложные разделы.

Статистика — не универсальное решение

Статистика и анализ данных полезны: они дают востребованные навыки и могут заинтересовать математикой и естественными науками учеников, которые иначе отказались бы от этих предметов. Однако смена одного приоритета на другой сама по себе не приведёт к тому, что больше школьников освоят математику углублённого уровня. Сокращение одного курса не гарантирует, что ученики начнут изучать другой, особенно если речь идёт о сложных математических дисциплинах.

Доступ к статистике и анализу данных стоит расширять. Национальные академии наук, инженерии и медицины США отмечают, что понимание данных и вычислительных методов всё чаще необходимо для участия в общественной жизни и для самых разных профессий, в том числе в области науки, технологий, инженерии и математики. Эти навыки могут помочь людям активнее участвовать в жизни общества и расширить возможности для улучшения мира.

По данным некоммерческой организации DataScience4Everyone, навыки анализа данных требуются как минимум в четверти объявлений о вакансиях, однако около 60% работодателей говорят, что не могут найти подходящих кандидатов. Но если просто поставить грамотность в области данных выше традиционной углублённой математики, это вряд ли изменит результаты учеников или жизнь американского общества. Необходимо развивать оба направления.

Исследования показывают, что долгосрочные доходы учеников, выбравших углублённую статистику вместо математического анализа, существенно не различаются. Однако в них рассматриваются ученики, которые сами выбрали углублённый курс по математике. Главный вопрос в том, удастся ли увеличить число старшеклассников, которые изучают и успешно осваивают хотя бы один такой курс. Для этого важно пересмотреть преподавание математики в начальной школе.

Прочное владение основами математики помогает справляться с более сложными темами. Как и при изучении чтения, нужны регулярные упражнения. Когда сложение, умножение и разложение на множители становятся привычными действиями, ученикам проще сосредоточиться на новых задачах и выбирать из широкого круга углублённых курсов.

Практические примеры могут сделать уроки понятнее, но сами по себе не заменяют усилий, необходимых для освоения сложного предмета. Обучение требует сосредоточенности, времени, припоминания, осмысления, обратной связи и практики. Постоянная новизна и высокий темп не гарантируют глубокого усвоения материала.

Школам следует преподавать статистику и давать возможность изучать анализ данных не только на курсах естественно-научного и технического направления, но и на гуманитарных занятиях. При этом каждому ребёнку нужна прочная математическая основа, а тем, у кого есть интерес или способности, — возможность углублённо изучать математику. Нужны и статистика, и математический анализ.

Не отказывайтесь от математического анализа только потому, что он сложен

Одна из задач государственного образования — дать ученикам доступ к сложным предметам. Математический анализ труден, но это не повод отказываться от него. Опрос старшеклассников показал, что девять из десяти учеников стали бы усерднее заниматься, если бы школа предъявляла к ним более высокие требования. Механическое заучивание не способствует любознательности, однако наглядные примеры из жизни не заменят интеллектуального труда. Ученикам нужны подготовка, понятный путь к освоению материала и возможность ошибаться, учиться на неудачах и продолжать работу. Стремление взяться за трудную задачу должно стать целью, а неудача — возможностью узнать больше.

Пьер Ферма сформулировал принцип наименьшего времени: свет проходит по пути, на который требуется меньше всего времени, а не обязательно по самому короткому. Эта идея связана с принципами оптимизации и помогла предсказывать явления физики и механики. К своему открытию Ферма пришёл, выполняя трудные алгебраические вычисления и опираясь на догадку о законах преломления. Его пример напоминает, что настойчивое изучение сложного материала может привести к открытиям, даже если успех заранее не гарантирован.

Изучать математический анализ не обязательно каждому школьнику. Но тем, кто способен, стоит попробовать, а сомневающимся в своих силах нужна поддержка. Если школа внушает ученикам и родителям, что этот предмет неважен, многие могут отказаться от возможности освоить его.

Результаты обучения нельзя игнорировать

Динтерсмит критикует стандартизированные тесты по математике, используемые в США, включая экзамены штатов, SAT и NAEP. При этом трудно обсуждать состояние математического образования, полностью отвергая данные об успеваемости. В частности, он утверждает, что пандемия COVID-19 почти не повлияла на результаты учеников, и насмехается над теми, кто говорит о чрезвычайной ситуации для целого поколения и потерях в обучении.

Пандемия нарушила учебный процесс и замедлила или свела на нет обучение многих детей. Отрицать это — значит игнорировать опыт миллионов американских родителей, которые видят пробелы в знаниях своих детей. Последствия различались между школами и округами. Исследователи из Стэнфордского, Гарвардского, Дартмутского и Чикагского университетов, а также Университета Джонса Хопкинса изучают причины различий в результатах обучения между сообществами и то, как эти выводы могут помочь штатам разработать дальнейшие образовательные реформы. Отрицание влияния масштабного общественного потрясения на обучение затрудняет и серьёзное обсуждение предложений Динтерсмита по изменению преподавания математики.

Пандемия также обнажила проблемы, существовавшие в государственном образовании до закрытия школ. Результаты учеников с самыми низкими показателями снижались и прежде. Наложившиеся на уже ослабленную систему потери в обучении — серьёзный образовательный кризис для нынешних и будущих поколений учеников американских государственных школ. Чтобы обсуждать будущее школьного образования и изменения в преподавании математики, необходимо учитывать и нарушения учебного процесса, и уже существовавшие трудности.